Question

利用导数求和：
（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；
（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x=1时，S_n易求；当x≠1时，对x+x²+x³++xⁿ=两边求导数可得答案．
（2）对（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ两边求导数后令x=1可得答案．
解答：解：（1）当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=（n+1），
当x≠1时，∵x+x²+x³++xⁿ=，
两边对x求导，得S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=（）′=．
（2）∵（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ，
两边对x求导，得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1．
令x=1，得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
即S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³++nC_nⁿ=n•2^n-1．
点评：本题主要考查导数的运算性质，属中档题．