Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，F₁F₂分别是椭圆C的左，右焦点，直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A，△AF₁F₂的面积为2，点P（x，y），是椭圆C上的动点w．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若∠F₁PF₂为钝角，求点P的横坐标x的取值范围；
（3）求PF₁+PA的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得b=2，①，设A（x，x）（x＞0），则，②结合△AF₁F₂的面积为2，有cx=2③，由①②③得a，最后写出椭圆C的方程；
（2）设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F₁PF₂是钝角推断出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．
（3）过点P向椭圆右准线做垂线，垂足为B，根据椭圆方程求得离心率和准线方程，进而根据椭圆的第二定义，进而可判定当P，A，B三点共线时有最小值，从而求得答案．
解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由题意，设A（x，x）（x＞0），则，②
△AF₁F₂的面积为2，∴cx=2③，
由①②③得：a=2，椭圆C的方程为：．
（2）设p（x，y），则 F₁（-2，0），F₂（2，0），
且∠F₁PF₂是钝角
?PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²?（x+2）²+y²+（x-2）²+y²＜32
?x²+y²＜8．
（3）椭圆 与y=x（x＞0）解得A（，），
自P作椭圆左准线的垂线，垂足为H，∵，
左准线方程：x=-3，
∴PF₁+PA即为：（PH+PA）
当A，P，H三点共线时，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值为|AB|，
因点A到左准线的距离为：+3，
∴PF₁+PA的最小值（+3）=6+．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，∠F₁PF₂是钝角推断出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²，是解题关键，本题还考查学生的作图能力和应用椭圆的第一定义和第二定义来求最值的能力．属基础题．