Question

已知函数y=-sin2x+asinx-

a

4

+

1

2

的最大值为2，求a的值．

Answer 1

分析：令t=sinx，问题就转二次函数在闭区间[-1，1]区间最值，由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，

解答：解：令t=sinx，t∈[-1，1]，
∴y=-(t-

a

2

)2+

1

4

(a2-a+2)，对称轴为t=

a

2

，
（1）当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，
ymax=

1

4

(a2-a+2)=2，得a=-2或a=3（舍去）．
（2）当

a

2

＞1，即a＞2时，
函数y=-(t-

a

2

)2+

1

4

(a2-a+2)在[-1，1]单调递增，
由ymax=-1+a-

1

4

a+

1

2

=2，得a=

10

3

．
（3）当

a

2

＜-1，即a＜-2时，
函数y=-(t-

a

2

)2+

1

4

(a2-a+2)在[-1，1]单调递减，
由ymax=-1-a-

1

4

a+

1

2

=2，得a=-2（舍去）．
综上可得：a的值a=-2或a=

10

3

．

点评：本题考查了二次函数最值问题，换元配方求得函数的对称轴是解题的关键．当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．