Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长AB=2，BC=3，BC⊥面ABC₁，CC₁与面ABC所成的角为60°则斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的最小值是

9

3

．

Answer 1

分析：在平面ABC₁内，过C₁作C₁H⊥AB于H，连接HC，可得C₁H⊥平面ABC，即∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，由已知中侧棱与底面成60°角，故可得当CH=BC时，棱柱的体积取最小值，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．

解答：解：∵AC⊥平面ABC₁，BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC₁，
在平面ABC₁内，过C₁作C₁H⊥AB于H，则C₁H⊥平面ABC
连接HC，则∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH•tan60°=

3

CH
V_棱柱=S_△ABC•C₁H=

1

2

AB×AC×C₁H=

1

2

×3×2×

3

CH=3

3

CH
∵CB⊥AB，∴CH≥CB=3，
∴棱柱体积最小值3

3

×3=9

3

．
故答案为：9

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱的体积，空间线面关系，属于中档题．