【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
在
上的最值;
(Ⅱ)试讨论零点个数.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)当
或
时,
只有一个零点;当
或
时,
有两个零点.
【解析】
(Ⅰ)由题意得,求得函数的单调性后即可求出最值;
(Ⅱ)求导得,当
时,
在
上单调递减,由
即可得解;当
时,
在
处取得极大值,令
,根据
、
和
分类讨论,根据零点存在性定理即可得解.
(Ⅰ)当时,
,
,
当时,
,当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因,
故,
.
(Ⅱ)因,
.
当时
在
上恒成立,
在
上单调递减,又因为
,
有唯一的零点;
当时,有
时
,当
时
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
在
处取得极大值,即最大值,
设,
,
当时,有
,
,
在
上单调递减,
在
上恒成立, 即
,
即
,
,
又因为,
在
上有一个零点,
又,所以此时
有两个零点;
当时,有
,
,
在
上单调递增,
在
上恒成立, 即
,
令,则
,易知
,
,
,
在
上有一个零点,又
,所以此时
有两个零点;
当时,
,此时
有唯一的零点;
综上所述,当或
时,
只有一个零点;
当或
时,
有两个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )
A.若的观测值为6.635,我们有
的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B.从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们就说某人吸烟,那么他有
的可能患有肺病
C.若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有
的可能性使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年8月8日是我国第十一个全民健身日,其主题是:新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如下图所示:
(1)将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”,现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人,求至少有 1 位消费者,其去年的消费金额超过 4000 元的概率;
(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:
会员等级 | 消费金额 |
普通会员 | 2000 |
银卡会员 | 2700 |
金卡会员 | 3200 |
预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在
内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在
内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时,需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:
方案 1:按分层抽样从普通会员, 银卡会员, 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元; 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元; 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从-个装有 3 个白球、 2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2,则可获得 200 元奖励金; 若摸到红球的总数为 3,则可获得 300 元奖励金;其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立) .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪-种方案投资较少?并说明理由.
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