Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在上的最值；

（Ⅱ）试讨论零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点.

【解析】

（Ⅰ）由题意得，求得函数的单调性后即可求出最值；

（Ⅱ）求导得，当时，在上单调递减，由即可得解；当时，在处取得极大值，令，根据、和分类讨论，根据零点存在性定理即可得解.

（Ⅰ）当时，，，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

因，

故，.

（Ⅱ）因，.

当时在上恒成立，

在上单调递减，又因为，有唯一的零点；

当时，有时，当时，

在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值，即最大值，

设，，

当时，有，，在上单调递减，

在上恒成立， 即，

即，，

又因为，

在上有一个零点，

又，所以此时有两个零点；

当时，有，，在上单调递增，

在上恒成立， 即，

令，则，易知，

，

，

在上有一个零点，又，所以此时有两个零点；

当时，，此时有唯一的零点；

综上所述，当或时，只有一个零点；

当或时，有两个零点.