【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
会员等级 | 消费金额 |
普通会员 | 2000 |
银卡会员 | 2700 |
金卡会员 | 3200 |
预计去年消费金额在
内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在
内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在
内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.
【答案】（1）
（2）预计方案2投资较少.详见解析
【解析】
（1）由题意，随机变量
的可能值为“
”，得
，即可求解。
（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额
元，又由方案2：得到
的可能值为“
”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案。
（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有人，
则的可能值为“0，1，2”，
∴
.
（或者
.
（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：
，
，
，
∴按照方案1奖励的总金额为：
元，
方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则的可能值为“0，200，300”，
∵摸到红球的概率：
，∴
，
，
，
∴的分布列为
| 0 | 200 | 300 |
|
|
|
|
∴
元，
∴按照方案2奖励的总金额为：
元，
∵方案1奖励的总金额
多于方案1奖励的总金额
，
∴预计方案2投资较少.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某工厂家具车间造
、
型两类桌子，每张桌子需木工和漆工梁道工序完成.已知木工做一张、型型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张、型型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张、型型桌子分别获利润2千元和3千元.
(1)列出满足生产条件的数学关系式，并画出可行域；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得
分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为
和
，在一轮闯关中，甲的得分记为
.
（1）求的分布列；
（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.
表示“甲的累积得分为
时，最终认为甲获胜”的概率，则
，其中
，
，
，令
.证明：点
的中点横坐标为
；
（3）在第（2）问的条件下求
，并尝试解释游戏规则的公平性.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
，
，若点A为函数
上的任意一点，点B为函数
上的任意一点.
(1)求A，B两点之间距离的最小值；
(2)若A，B为函数与函数公切线的两个切点，求证:这样的点B有且仅有两个，且满足条件的两个点B的横坐标互为倒数.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）
为曲线上的动点，点
在线段
上，且满足
，求点的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点
的极坐标为
，点
在曲线上，求
面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．
（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；
（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即
）的正切值为
,求该圆形标志物的半径．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列
是递减的等差数列，的前
项和是
，且
，有以下四个结论：
①
；
②若对任意
都有
成立，则
的值等于7或8时；
③存在正整数，使
；
④存在正整数
，使
．
其中所有正确结论的序号是
A. ①②B. ①②③
C. ②③④D. ①②③④
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