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    已知f(x)=(
    1
    ax-1
    +
    1
    2
    )x(a＞0，a≠1)    ．
    （1）讨论f（x）的奇偶性；
    （2）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．
    分析：（1）先求定义域，看其定义域是否关于原点对称，求出f（-x）与f（x）的关系，再根据偶函数的定义进行判定即可；
    （2）本题可从a的值与1的大小入手，考虑a＞1与0＜a＜1两种情况，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
    解答：解：（1）由ax-1≠0得x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}（2分）
    对于定义域的任意x，
    有f(-x)=(
    1
    a-x-1
    +
    1
    2
    )(-x)    =(
    ax
    1-ax
    +
    1
    2
    )(-x)    =(
    ax-1+1
    1-ax
    +
    1
    2
    )(-x)    =(
    1
    1-ax
    -
    1
    2
    )(-x)=(
    1
    ax-1
    +
    1
    2
    )x=f(x)    ，
    ∴f（x）为偶函数（6分）
    （2）当a＞1时，若x＞0则ax＞1
    ∴ax-1＞0，∴
    1
    ax-1
    +
    1
    2
    ＞0    ，
    又x＞0，∴f（x）＞0又f（x）为偶函数，
    当x＜0时，-x＞0有，f（x）=f-x）＞0，
    当0＜a＜1时f(x)=(
    1
    ax-1
    +
    1
    2
    )    x，
    当x＞0时0＜ax＜1，-1＜ax-1＜0，则
    1
    ax-1
    ＜-1    ∴f（x）＜0不满足题意
    又f（x）为偶函数，当x＜0时-x＞0，有f（x）=f-x）＜0不满足题意．
    综上可知：a＞1．
    点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数奇偶性的判定和分类讨论的数学思想，属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=x
    1
    2
    ，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（　　）
    A、f(a)＜f(b)＜f(
    1
    a
    )＜f(
    1
    b
    )
    B、f(
    1
    a
    )＜f(
    1
    b
    )＜f(b)＜f(a)
    C、f(a)＜f(b)＜f(
    1
    b
    )＜f(
    1
    a
    )
    D、f(
    1
    a
    )＜f(a)＜f(
    1
    b
    )＜f(b)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    		x2+1
    -1
    x
    (x＞0)    数列{an}满足a1=a＞0且an=f-1（an+1），
    （1）求函数y=f（x）的反函数；
    （2）求证：an≤(
    1
    2
    )n-1a    ；
    （3）若a=1试比较an与2-n的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=x2-(a+
    1
    a
    )x+1
    （Ⅰ）当a=
    1
    2
    时，解不等式f（x）≤0；
    （Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)(x∈R，x≠
    1
    a
    )    满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）数列{an}满足：a1=
    2
    3
    ，an+1=f(an)，bn=
    an
    1-an
    (n∈N*)    ，证明：{bn}为等比数列．
    （3）在（2）的条件下，若cn=
    1
    bn+(-1)n
    (n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn    ，求证：Sn＜
    3
    2
    (n∈N*)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出以下五个命题：
    ①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
    ②已知f(x)=
    x
    		1+x2
    ，则
    f(f(f(…)))
     n个
    =
    x
    		1+nx2
    ．
    ③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
    ④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
    ⑤已知a＞0，b＞0，则
    1
    a
    +
    1
    b
    +2
    		ab
    的最小值是4．
    其中正确命题的序号是
    ②⑤
    ②⑤
    ．

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