Question

已知f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x(a＞0，a≠1)．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求定义域，看其定义域是否关于原点对称，求出f（-x）与f（x）的关系，再根据偶函数的定义进行判定即可；
（2）本题可从a的值与1的大小入手，考虑a＞1与0＜a＜1两种情况，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．

解答：解：（1）由a^x-1≠0得x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}（2分）
对于定义域的任意x，
有f(-x)=(

1

a-x-1

+

1

2

)(-x)=(

ax

1-ax

+

1

2

)(-x)=(

ax-1+1

1-ax

+

1

2

)(-x)=(

1

1-ax

-

1

2

)(-x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x=f(x)，
∴f（x）为偶函数（6分）
（2）当a＞1时，若x＞0则a^x＞1
∴a^x-1＞0，∴

1

ax-1

+

1

2

＞0，
又x＞0，∴f（x）＞0又f（x）为偶函数，
当x＜0时，-x＞0有，f（x）=f-x）＞0，
当0＜a＜1时f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x，
当x＞0时0＜a^x＜1，-1＜a^x-1＜0，则

1

ax-1

＜-1∴f（x）＜0不满足题意
又f（x）为偶函数，当x＜0时-x＞0，有f（x）=f-x）＜0不满足题意．
综上可知：a＞1．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数奇偶性的判定和分类讨论的数学思想，属于基础题．