Question

19．已知3x²+2y²+4z²=24，求w=7x+y-5z的最值．

Answer 1

分析 由柯西不等式，得[7x+y+（-5）z]²≤[（$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（-$\frac{5}{2}$）²]（3x²+2y²+4z²），利用这个条件进行计算即可．

解答 解：由柯西不等式，得[7x+y+（-5）z]²≤[（$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（-$\frac{5}{2}$）²]（3x²+2y²+4z²），
即（7x+y-5z）²≤$\frac{109}{12}$（3x²+2y²+4z²），…（5分）
即（7x+y-5z）²≤218
所以-$\sqrt{218}$≤7x+y-5z≤$\sqrt{218}$，
即w=7x+y-5z的最大值为$\sqrt{218}$，最小值为-$\sqrt{218}$．…（10分）

点评 本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用由柯西不等式，得[7x+y+（-5）z]²≤[（$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（-$\frac{5}{2}$）²]（3x²+2y²+4z²）．