【题目】已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)+ , 求函数h(x)的单调区间;
(Ⅲ)若g(x)=﹣ , 在[1,e](e=2.71828…)上存在一点x0 , 使得f(x0)≤g(x0)成立,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1),
∴,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,
∴曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0.
(Ⅱ)+,定义域为(0,+∞),=,
①当a+1>0,即a>﹣1时,令h′(x)>0,
∵x>0,∴x>1+a
令h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a.
②当a+1≤0,即a≤﹣1时,h′(x)>0恒成立,
综上:当a>﹣1时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增.
当a≤﹣1时,h(x)在(0,+∞)上单调递增.
(Ⅲ)由题意可知,在[1,e]上存在一点x0 , 使得f(x0)≤g(x0)成立,
即在[1,e]上存在一点x0 , 使得h(x0)≤0,
即函数h(x)=x-alnx+在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0.
由第(Ⅱ)问,①当a+1≥e,即a≥e﹣1时,h(x)在[1,e]上单调递减,
∴,∴,
∵,∴;
②当a+1≤1,即a≤0时,h(x)在[1,e]上单调递增,
∴[h(x)]min=h(1)=1+1+a≤0,
∴a≤﹣2,
③当1<a+1<e,即0<a<e﹣1时,∴[h(x)]min=h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0,
∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2
此时不存在x0使h(x0)≤0成立.
综上可得所求a的范围是:或a≤﹣2.
【解析】(Ⅰ)求出切点(1,1),求出 , 然后求解斜率k,即可求解曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程.
(Ⅱ)求出函数的定义域,函数的导函数,①a>﹣1时,②a≤﹣1时,分别求解函数的单调区间即可.
(Ⅲ)转化已知条件为函数h(x)=x-alnx+在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0,利用第(Ⅱ)问的结果,通过①a≥e﹣1时,②a≤0时,③0<a<e﹣1时,分别求解函数的最小值,推出所求a的范围.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+1|(x∈R)
(1)证明:函数f(x)是偶函数;
(2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图象,并写出函数的值域;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+2,观察图象写出不等式f(x)>x+2的解集.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC
(1)求角C大小;
(2)求 sinA﹣cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为AB中点,F为正方形BCC1B1的中心.
(1)求直线EF与平面ABCD所成角的正切值;
(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣x﹣1在(﹣∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[﹣ , ]
B.(﹣ , )
C.(﹣∞,﹣)∪( , +∞)
D.(﹣∞,﹣)∩( , +∞)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照, , , , 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在, 的数据).
(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的、的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取3
名学生参加“中国谜语大会”,设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题甲:关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集为空集;命题乙:方程x2+ ax﹣(a﹣4)=0有两个不相等的实根.
(1)若甲,乙都是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若甲,乙中有且只有一个是假命题,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 , 是坐标原点, 分别为其左右焦点, , 是椭圆上一点, 的最大值为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于两点,且
(i)求证: 为定值;
(ii)求面积的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a为实数,p:点M(1,1)在圆(x+a)2+(y﹣a)2=4的内部; q:x∈R,都有x2+ax+1≥0.
(1)若p为真命题,求a的取值范围;
(2)若q为假命题,求a的取值范围;
(3)若“p且q”为假命题,且“p或q”为真命题,求a的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com