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设于f(x)=
2x-1
2x+1

(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)求证对任意非零实数x=20∈[10,25],都有
f(x)
x
>0
分析:本题重点考查函数的基本性质及其应用,对于(1)直接根据函数的单调性的定义进行判断和证明即可;(2)则需要利用指数函数的值域问题进行证明.
解答:解:(1)根据题意,可以知道f (x) 在(-∞,+∞)上是增函数.证明如下:
任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(1-
2
2x1+1
)-(1-
2
2x2+1
)
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0

即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(2)根据函数f(x)=
2x-1
2x+1
,结合指数函数的值域,
当x>0时,有2x>1,
∴f(x)>0,∴
f(x)
x
>0

?当x<0时,有0<2x<1,
∴f(x)<0,∴
f(x)
x
>0
.问题得证.
本题也可由
f(x)
x
为偶函数,因此只需证x>0,
f(x)
x
即可.
点评:本题重点掌握函数的单调性的概念及其证明问题的一般步骤方法,领悟函数的基本性质的运用
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ex-a(x-1),x∈R,其中a为实数.
(1)若实数a>0,求函数f(x)在(0,+∞)上的极值.
(2)记函数g(x)f(2x),设函数y=g(x)的图象C与y轴交于P点,曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S(a),当a>1时,求S(a)的最小值;
(3)当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)+f′(x)+x3-2x2≥0恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在R+上的函数f(x)有2f(x)+f(
1
x
)=2x+
1
x
+3

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=
f2(x)-2x
(x>0)
,直线y=
2
n-x
(n∈N*)分别与函数y=g(x),y=g-1(x)交于An、Bn两点(n∈N*).设an=|AnBn|,Sn为数列{an}的前n项和.
①求an,并证明
S
2
n-1
=
S
2
n
-
2Sn
n
+
1
n2
(n≥2)

②求证:当n≥2时,Sn2>2(
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分.)
A.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.则不等式f(x)>2的解集为
{x|x<-7或x>
5
3
}
{x|x<-7或x>
5
3
}

B.(坐标系与参数方程选做题)曲线C:
x=-2+2cosα
y=2sinα
(α为参数),若以点O(0,0)为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,则该曲线的极坐标方程是
ρ=-4cosθ
ρ=-4cosθ


C.(几何证明选讲选做题) 如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,弧AE=弧AC,DE交AB于F,且AB=2BP=4,则PF=
3
3

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科目:高中数学 来源:0124 期末题 题型:解答题

函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2
(Ⅰ)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数?
(Ⅱ)证明:x1∈[1,2],且x2∈[9,10];
(Ⅲ)结合函数图象的示意图,判断f(6),g(6),f(2011), g(2011)的大小,并按从小到大的顺序排列.

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