Question

【题目】已知f（x）=lnx，g（x）= +mx+ （m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴f'（1）=1．

∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．

∴直线l的方程为y=x﹣1．

又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，

∴方程组 有一解．

由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0

解之，得m=4或m=﹣2

∵m＜0，∴m=﹣2．

（2）解：由（1）可知 ，

∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．

∴ ．（7分）

∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．

∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2

（3）解：f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln =ln（1+ ）．

∵0＜b＜a，∴﹣a，∴ ．

由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，

ln（1+ ）＜ ．∴f（a+b）﹣f（2a）＜

【解析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与 联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln =ln（1+ ）．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，
ln（1+ ）＜ 即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜ ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数和不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．