Question

5．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=3m，BC=4m，高BB₁=5m，求：
（1）写出B₁D、BC₁在平面ABCD内的射影；
（2）对角线DB₁与平面ABCD所成角的大小；
（3）BC₁与平面ABCD所成角的正切．

Answer 1

分析 （1）由B₁B⊥平面ABCD，垂足为B，C₁C⊥平面ABCD，垂足为C，能求出B₁D、BC₁在平面ABCD内的射影．
（2）由B₁B⊥平面ABCD，得∠B₁DB是对角线DB₁与平面ABCD所成角，由此能求出对角线DB₁与平面ABCD所成角的大小．
（3）由C₁C⊥平面ABCD，得∠C₁BC是BC₁与平面ABCD所成角，由此能求出BC₁与平面ABCD所成角的正切．

解答 解：（1）∵B₁B⊥平面ABCD，垂足为B，
∴B₁D在平面ABCD内的射影为BD；
∵C₁C⊥平面ABCD，垂足为C，
∴BC₁在平面ABCD内的射影为BC．
（2）∵B₁B⊥平面ABCD，垂足为B，B₁D在平面ABCD内的射影为BD，
∴∠B₁DB是对角线DB₁与平面ABCD所成角，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=3m，BC=4m，高BB₁=5m，
∴BD=$\sqrt{9+16}$=5（m），
∴tan∠B₁DB=$\frac{B{B}_{1}}{BD}$=$\frac{5}{5}$=1，∴∠B₁DB=45°，
∴对角线DB₁与平面ABCD所成角的大小为45°．
（3）∵C₁C⊥平面ABCD，垂足为C，BC₁在平面ABCD内的射影为BC，
∴∠C₁BC是BC₁与平面ABCD所成角，
tan∠C₁BC=$\frac{C{C}_{1}}{BC}$=$\frac{5}{4}$，
∴BC₁与平面ABCD所成角的正切为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查直线在平面中的射影的求法，考查线面的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．