Question

19．从抛物线y²=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=k（x-2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x₀，y₀）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；
（Ⅱ）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出弦AB的长．

解答 解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x₀，y₀）是抛物线上的点，D（x₀，0），
因为M是PD的中点，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因为点P在抛物线上，所以y₀²=32x，即4y²=32x，
所以y²=8x，所求点M轨迹方程为：y²=8x．
（Ⅱ）抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=-2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵|AF|=2|BF|，∴x₁+1=2（x₂+1），∴x₁=2x₂+1
∵|y₁|=2|y₂|，∴x₁=4x₂，∴x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$．

点评 本题主要考查求轨迹方程的方法，考查学生分析解决问题的能力，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题．