Question

设不等式|x-2|＜m（m∈N⁺）的解集为A，且

3

2

∈A，

1

2

∉A．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=

m

2

，求证：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

≥9．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

3

2

∈A，

1

2

∉A，求出m的范围，结合m∈N⁺，即可求m的值；
（Ⅱ）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解：由

3 2 ∈A 1 2 ∉A

⇒

| 3 2 -2|＜m | 1 2 -2|≥m

⇒

1

2

＜m≤

3

2

．--（4分）
∵m∈N⁺，
∴m=1．--（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）有：a+b+c=

1

2

⇒2a+2b+2c=1（a，b，c∈R⁺）
又

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)×1=(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)(2a+2b+2c)
=(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥9，
∴

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

≥9--（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，正确运用“1”的代换，基本不等式，是解题的关键．