Question

（1）已知矩阵A=

3 3 2 4

，向量β=

6 8

，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A²α=β．
（2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，

π

2

)，曲线C的参数方程为

x=rcosα y=rsinα

(α为参数，r＞0）
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
（3）设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=a

x-3

+b

5-x

的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-3 -3 -2 λ-4

.

=λ²-7λ+6，令f（λ）=0，能求出矩阵M的特征值和特征向量．
（Ⅱ）由矩阵A=

3 3 2 4

，知A²=

15 21 14 22

，设向量α=

x y

，由向量β=

6 8

，A²α=β，能求出向量α．
（2）（Ⅰ）由点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，

π

2

)，求出A，B的普通方程，由此能直线AB的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程为

x=rcosα y=rsinα

(α为参数，r＞0），知曲线C的普通方程为x²+y²=r²．再由直线AB和曲线C只有一个交点，能求出r．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，不等式x2-ax+b＞0的解集为{x|x＞3 或x＜1 }．由此能求出a和b．
（Ⅱ）由a=4，b=3，知f（x）=4

x-3

+3

5-x

，3≤x≤5．由（4

x-3

+3

5-x

）²=7x-3+24

-(x-4)2+1

，由此能求出f（x）的最大值为和此时x值．

解答：解：（1）（Ⅰ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-3 -3 -2 λ-4

.

=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1和6．
当λ=1时，联立

-2x-3y=0 -2x-3y=0

，解得2x+3y=0
所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为

2 -3

．
当λ=6时，联立

3x-3y=0 -2x+2y=0

，解得x=y
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量

1 1

．
（Ⅱ）∵矩阵A=

3 3 2 4

，∴A2=

3 3 2 4

3 3 2 4

=

15 21 14 22

，
设向量α=

x y

，∵A=

3 3 2 4

，向量β=

6 8

，A²α=β，
∴

15x+21y=6 14x+22y=8

，解得x=-1，y=1，
∴向量α=

-1 1

．
（2）（Ⅰ）∵点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，

π

2

)，
∴点A，B的普通坐标为（1，0），（0，1），
∴直线AB的直角坐标方程为x+y-1=0．
（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为

x=rcosα y=rsinα

(α为参数，r＞0），
∴曲线C的普通方程为x²+y²=r²．
∵直线AB和曲线C只有一个交点，
∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=

|0+0-1|

2

=r，解得r=

2

2

．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，得x＞3 或x＜1，
故不等式|x-2|＞1的解集为{x|x＞3 或x＜1 }，
由题设知不等式x2-ax+b＞0的解集为{x|x＞3 或x＜1 }．
∴3+1=a，3×1=b
解得a=4，b=3．
（Ⅱ）∵a=4，b=3，
∴f（x）=4

x-3

+3

5-x

，3≤x≤5．
由（4

x-3

+3

5-x

）²=16x-48+45-9x+24

(x-3)(5-x)

=7x-3+24

(x-3)(5-x)

=7x-3+24

-x2+8x-15

=7x-3+24

-(x-4)2+1

≤28-3+24=49，当且仅当x=4时取最大值．
∴f（x）的最大值为7，此时x=4．

点评：（1）考查矩阵的特征值和特征向量的求法；（2）考查极坐标与参数方程的应用；（3）考查不等式的解法及其应用．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．