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    （1）已知矩阵A=
    a2
    1b
    有一个属于特征值1的特征向量
    α
    =
    2
    -1
    ，
    ①求矩阵A；
    ②已知矩阵B=
    1-1
    01
    ，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
    （2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
    x=t-3
    y=
    		3
     t
    （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0．
    ①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    ②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
    （3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
    ①求不等式f（x）≥3的解集；
    ②若关于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
    分析：（1）①由已知得：
    a2
    1b
     
    2
    -1
    =1•
    2
    -1
    ，可得
    2a-2=2
    2-b=-1
    ，求出a，b的值，可得A．
    ②由条件求出O、M、N变换后的对应点的坐标O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），从而求得△O′M′N′的面积
    （2）①把直线的参数方程消去参数化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标方程化为直角坐标方程．
    ②求出圆心到直线的距离d，即可求得点P到直线l的距离的取值范围．
    （3）解：①原不等式等价于
    x≤1
    -2x≥3
    ，或
    -1＜x≤1
    2≥3
    ，或
    x＞1
    2x≥3
    ，分别求出这三个不等式组的解集，再取并集
    即得所求．
    ②依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a2-a在R上恒成立，再由|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
    可得 a2-a≤2，由此求得实数a的取值范围．
    解答：解：（1）解：①由已知得：
    a2
    1b
     
    2
    -1
    =1•
    2
    -1
    ，
    ∴
    2a-2=2
    2-b=-1
    ，解得
    a=2
    b=3
    ，故A=
    22
    13
    ．…（3分）
    ②∵AB=
    22
    13
     
    1-1
    01
    =
    20
    12
    ，…（4分）
    ∴
    20
    12
     
    0
    0
    =
    0
    0
    ，
    20
    12
     
    2
    -1
    =
    4
    0
    ，
    20
    12
     
    0
    2
    =
    0
    4
    ．…（6分）
    即点O（0，0），M（2，-1），N（0，2）变成点O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），
    ∴△O′M′N′的面积为
    1
    2
    ×4×4    =8．   …（7分）
    （2）解：①直l的普通方程为：
    		3
    x-y+3
    		3
    =0．…（2分）
    曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x+3=0．…（4分）
    ②曲线C的标准方程为 （x-2）2+y2=1，圆心C（2，0），半径为1．
    ∴圆心C到直线l的距离为：d=
    |2
    		3
    -0+3
    		3
    |
    2
    =
    5
    		3
    2
    ．  …（6分）
    所以点P到直线l的距离的取值范围是[
    5
    		3
    2
    -1，
    5
    		3
    2
    +1]．    …（7分）
    （3）解：①原不等式等价于
    x≤1
    -2x≥3
    ，或
    -1＜x≤1
    2≥3
    ，或
    x＞1
    2x≥3
    ，…（1分）
    解得 x≤-
    3
    2
    ，或 x∈∅，x≥
    3
    2
    ．
    ∴不等式的解集为{x|x≤-
    3
    2
    ，x≥
    3
    2
     }．…（4分）
    ②依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a2-a在R上恒成立，
    ∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，…（5分）
    ∴a2-a≤2，解得-1≤a≤2，
    ∴实数a的取值范围是[-1，2]．   …（7分）
    点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，特征向量的意义，矩阵运算，把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）已知矩阵M=
    1a
    b1
    ，N=
    c2
    0d
    ，且MN=
    20
    -20
    ，
    （Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
    （2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
    x=3-
    		2
    2
    t
    y=
    		5
    -
    		2
    2
    t
    （t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
    		5
    sinθ    ．
    （Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，
    		5
    )    ，
    求|PA|+|PB|．
    （3）已知函数f（x）=|x-a|．
    （Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知矩阵A=
    33
    24
    ，向量β=
    6
    8
    ，
    （Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
    （Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
    （2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，
    π
    2
    )    ，曲线C的参数方程为
    x=rcosα
    y=rsinα
    (α    为参数，r＞0）
    （Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
    （Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
    （3）设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
    （Ⅰ）求a，b的值；
    （Ⅱ）求函数f(x)=a
    		x-3
    +b
    		5-x
    的最大值，以及取得最大值时x的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是
    1
    1
    ，（1）求矩阵A．（2）
    β
    =
    4
    0
    ，求A5
    β
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•漳州模拟）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    a2
    1b
    有一个属于特征值1的特征向量
    α
    =
    2
    -1
    ．
    （Ⅰ） 求矩阵A；
    （Ⅱ） 矩阵B=
    1-1
    01
    ，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
    x=t-3 
    y=
    		3
    t 
    （t为参数）．以直角坐标系xOy中的原点O为 极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0，
    （Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐标方程；
    （Ⅱ） P为圆C上的点，求P到l距离的取值范围．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知关于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知矩阵A=
    33
    cd
    ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
    α1
    =
    1
    1
    ，属于特征值1的一个特征向量
    α2
    =
    3
    -2
    ．
    （Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；
    （Ⅱ）计算A3
    -1
    4
    的值．

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