Question

（2012•漳州模拟）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

a 2 1 b

有一个属于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

．
（Ⅰ） 求矩阵A；
（Ⅱ） 矩阵B=

1 -1 0 1

，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=t-3  y= 3 t

（t为参数）．以直角坐标系xOy中的原点O为 极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，
（Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐标方程；
（Ⅱ） P为圆C上的点，求P到l距离的取值范围．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据矩阵A=

a 2 1 b

有一个属于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

，可得

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，从而可矩阵A；
（Ⅱ）先计算AB，从而可得点O，M，N变成点O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），即可计算△O'M'N'的面积；（2）（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，可得普通方程，圆C的极坐标方程利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直角坐标方程；
（Ⅱ）化圆的普通方程为标准方程，确定圆心与半径，求出点C到l的距离，从而可求P到l距离的取值范围；
（3）求出|x-1|+|x+2|的最小值，从而|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5对?x∈R恒成立，等价于a²+2|a|-5≤3，由此可求a的取值范围．

解答：解：（1）（Ⅰ）由已知得

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，∴

2a-2=2  2-b=-1 ，

解得

a=2  b=3

，故A=

2 2 1 3

．
（Ⅱ）AB=

2 2 1 3

1 -1 0 1

=

2 0 1 2

，
∴(AB)

0 0

=

2 0 1 2

0 0

=

0 0

，(AB)

2 -1

=

2 0 1 2

2 -1

=

4 0

，(AB)

0 2

=

2 0 1 2

0 2

=

0 4

，
即点O，M，N变成点O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），△O'M'N'的面积为

1

2

×4×4=8．
（2）（Ⅰ）直线l的参数方程为

x=t-3① y= 3 t ②

（t为参数），①×

3

-②，可得普通方程为

3

x-y+3

3

=0，
圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，化为直角坐标方程为x²+y²-4x+3=0．…（4分）
（Ⅱ） C的标准方程为（x-2）²+y²=1，圆心C（2，0），半径为1，
点C到l的距离为 d=

2 3 -0+3 3

2

=

5 3

2

，
∴P到l距离的取值范围是[

5 3

2

-1 ，  

5 3

2

+1]．
（3）∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5对?x∈R恒成立，等价于a²+2|a|-5≤3，
即（|a|-2）（|a|+4）≤0
∴|a|≤2，
∴a的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查矩阵、参数方程与极坐标方程、考查不等式问题，解题的关键是明确方法、掌握公式．