Question

已知函数.

⑴若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；

⑵求证；对任意恒成立的充要条件是；

⑶若，且对任意、，都，求的取值范围.

Answer 1

解：⑴，，又，所以曲线在处的切线方程为即，

由已知得，，所以，.

⑵充分性

当时，，

当时，，当时，，

所以在上是增函数，在上是减函数，

；

必要性

当时，，在上是减函数，而，

故时，，与恒成立矛盾，所以不成立

当时，，

当时，，当时，，

所以在上是增函数，在上是减函数，

；

因为，又当时，，与恒成立不符.

所以.

综上，对任意恒成立的充要条件是；

⑶当时，，∴在上是减函数，

不妨设且，则，，

∴等价于，即

令，在上是减函数，

∵，

∴在时恒成立，

∴，，又，所以的取值范围是