【题目】已知曲线.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求斜率为1的曲线的切线方程.
【答案】(1)4x-y-4=0;(2)x-y+2=0或4x-y-4=0;(3)x-y+2=0或3x-3y+2=0.
【解析】试题分析:(1)求曲线在某点处的切线,只要求出导函数,则切线方程为;
(2))求曲线过某点的切线,需要设切点为,求出导函数,写出切线方程为,代入点求得即可;
(3)求斜率为的切线方程,可解方程,求出切点,再得切线方程.
试题解析:
(1)∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y′|x=x0=x.
∴切线方程为y-=x (x-x0),
即y=x·x-x+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为x=1,x0=±1.
切点为(-1,1)或,
∴切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,
即x-y+2=0或3x-3y+2=0.
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【题目】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
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【题目】家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员x名.
(Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求x的值;
(Ⅱ)某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择,求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率.
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【题目】下列命题中的假命题是( )
A. α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ
B. φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
C. x0∈R,使 (a,b,c∈R且为常数)
D. a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是A1D1的中点,点F是CE的中点.
(Ⅰ)求证:平面ACE⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)求证:AE∥平面BDF.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,∠DAB=60°.
(1)求证:直线AM∥平面PNC;
(2)求二面角D﹣PC﹣N的余弦值.
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【题目】(导学号:05856323)已知在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,若a=1, sin2B+sin2C-sin2A=sin Asin Bsin C,则R的值为( )
A. B. C. D.
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