Question

20、已知每项均是正整数的数列a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…），
g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，k₅=…=k₁₀₀=0，求g（1），g（2），g（3），g（4）；
（II） 若 a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，比较g（m），g（m+1）的大小；
（Ⅲ）若a₁+a₂+…a₁₀₀=200，求函数g（m）的最小值．

Answer 1

分析：（I）因为数列k₁，k₂，k₃，k₄的值已知，所以b₁，b₂，b₃，b₄由公式b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）求得；
（II）由题意，g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m，g（m+1）=b₁+b₂+…b_m+b_m+1-100（m+1），作差比较，得g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，由b_j的含义，知b_m+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，知当m≥50时b_m=100，所以，当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；
（III）可设{a₁，a₂，…a₁₀₀}中的最大值为M，则由（II）知，g（m）的最小值为g（M），计算出g（M）的值即为g（m）最小值．

解答：解：（I）因为数列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，所以b₁=40，b₂=70，b₃=90，b₄=100，
所以：g（1）=-60，g（2）=-90，g（3）=-100，g（4）=-100；
（II）一方面，g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，根据b_j的含义，知b_m+1≤100，
故g（m+1）-g（m）≤0，即g（m）≥g（m+1），①
当且仅当b_m+1=100时取等号．
因为a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，所以当m≥50时必有b_m=100，
所以g（1）＞g（2）＞…＞g（49）=g（50）=g（51）=…
即当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；
（III）设M为{a₁，a₂，…a₁₀₀}中的最大值．
由（II）可以知道，g（m）的最小值为g（M）．下面计算g（M）的值．
g（M）=b₁+b₂+b₃+…+b_M-100M
=（b₁-100）+（b₂-100）+（b₃-100）+…+（b_M-1-100）
=（-k₂-k₃-…-k_M）+（-k₃-k₄-…-k_M）+（-k₄-k₅…-k_M）+…+（-k_M）
=-[k₂+2k₃+…+（M-1）k_M]
=-（k₁+2k₂+3k₃+…+Mk_M）+（k₁+k₂+…+k_M）
=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀）+b_M
=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀）+100
∵a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=200，∴g（M）=-100，g（m）最小值为-100．

点评：本题考查了数列知识的综合应用，解题时要认真审题，弄清题目中所给的条件是什么，细心解答，这样才不会出现错误．