Question

已知每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…+k_j（j=1，2，3…），g（m）=b₁+b₂+…+b_m-nm（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列A：1，2，1，4，求g（1），g（2），g（3），g（4），g（5）；
（Ⅱ）若数列A满足a₁+a₂+…+a_n-n=100，求函数g（m）的最小值．

Answer 1

分析：（I）因为数列k₁，k₂，k₃，k₄的值已知，所以b₁，b₂，b₃，b₄由公式b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）求得；
（II）由题意，g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m，g（m+1）=b₁+b₂+…b_m+b_m+1-100（m+1），作差比较，得g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，由b_j的含义，知b_m+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，知当m≥50时b_m=100，所以，当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；可设{a₁，a₂，…a₁₀₀}中的最大值为M，则由（II）知，g（m）的最小值为g（M），计算出g（M）的值即为g（m）最小值．

解答：解：（1）根据题设中有关字母的定义，k₁=2，k₂=1，k₃=0，k₄=1，k_j=0（j=5，6，7）
b₁=2，b₂=2+1=3，b₃=2+1+0=3，b₄=4，b_m=4（m=5，6，7，）

g(1)=b1-4×1=-2 g(2)=b1+b2-4×2=-3， g(3)=b1+b2+b3-4×3=-4， g(4)=b1+b2+b3+b4-4×4=-4， g(5)=b1+b2+b3+b4+b5-4×5=-4.

（2）一方面，g（m+1）-g（m）=b_m+1-n，根据“数列A含有n项”及b_j的含义知b_m+1≤n，
故g（m+1）-g（m）≤0，
即g（m）≥g（m+1）①（7分）
另一方面，设整数M=maxa₁，a₂，，a_n，则当m≥M时必有b_m=n，
所以g（1）≥g（2）≥≥g（M-1）=g（M）=g（M+1）=所以g（m）的最小值为g（M-1）．（9分）
下面计算g（M-1）的值：g（M-1）=b₁+b₂+b₃++b_M-1-n（M-1）
=（b₁-n）+（b₂-n）+（b₃-n）++（b_M-1-n）
=（-k₂-k₃--k_M）+（-k₃-k₄--k_M）+（-k₄-k₅--k_M）++（-k_M）
=-[k₂+2k₃++（M-1）k_M]
=-（k₁+2k₂+3k₃++Mk_M）+（k₁+k₂++k_M）
=-（a₁+a₂+a₃++a_n）+b_M
=-（a₁+a₂+a₃+..+a_n）+n（12分）
∵a₁+a₂+a₃++a_n-n=100，
∴g（M-1）=-100，
∴g（m）最小值为-100．（13分）

点评：本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，本题考查了数列知识的综合应用，解题时要认真审题，弄清题目中所给的条件是什么，细心解答，这样才不会出现错误．