Question

已知函数y=log2

x

4

•log4

x

2

（2≤x≤4），求该函数的值域．

Answer 1

分析：利用对数的运算性质和换低公式，化简函数的解析式，再把“对数log₂x”作为一个整体利用配方法进行化简，由log₂x的范围和二次函数的性质，求出函数的值域．

解答：解：由y=log2

x

4

•log4

x

2

=（log₂x-log₂4）（log₄x-log₂2）
=

1

2

(log2x-log24)(log2x-log22)=

1

2

lo

g

2 2

x-

3

2

log2x+1，
设t=log₂x，则y=

1

2

t2-

3

2

t+1，又∵2≤x≤4，∴1≤t≤2，
所以，当t=

3

2

时，ymin=-

1

8

；当t=1或2时，y_max=0，
所以，函数的值域是[-

1

8

，0]．

点评：本题考查了求对数型复合函数的值域，把“对数log₂x”作为一个整体，求它的范围，利用对数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想．