Question

已知函数f（x）=-x³+3x．
（1）判断f（x）的奇偶性，证明你的结论；
（2）当a在何范围内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？

Answer 1

解：（1）证明：显然f（x）的定义域是R．设x∈R，
∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）解：设-1＜x₁＜x₂≤1，则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+3x₁）-（-x₂³+3x₂）=（x₁-x₂）[3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）]
∵x₁＜x₂，3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-1，1]上是增函数．
∴函数f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]．
∴当a在（-2，2]内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解．
分析：（1）根据已知中f（x）=-x³+3x．求出f（-x），并判断f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的性质得到函数的奇偶性，
（2）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数，得出f（x）在（-1，1]上是增函数，从而函数f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义及性质是解答本题的关键．