Question

【题目】【2018河北保定市高三上学期期末调研】如图，四面体中， 、分别、的中点， ， ．

（I）求证： 平面；

（II）求异面直线与所成角的余弦值的大小；

（III）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）．

【解析】试题分析：（1）由已知条件得出，由计算得出，得出，再由线面垂直的判定定理得出平面；（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出的坐标，求出的值为，得出结果；（3）求出平面ABC的一个法向量，由点到平面的距离公式算出结果。

试题解析：（1）连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，

在△AOC中，由题设知 AO=， ,AC= ，

∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，

∵AO⊥BD，BD∩OC=O，

∴AO⊥平面BCD；

（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（0，0， ），B（，0，0），C（0， ，0），D（﹣，0，0），, ， ，∴异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为 .

（3）解：由（2）知： , .

设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则

，

令y=1，得=（，1，）

又，

∴点D到平面ABC的距离.