Question

【题目】已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+y－4=0，l3：x－y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.

（1）求⊙C的方程；

（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足.记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1 k2的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]

【解析】

（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则

，

结合点C(a，b)在△DEF内，可得.

解得a=b=0，r=2.

∴⊙C的方程为x2+y2=4.

解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.

如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴.

因此，△DEF为正三角形.

∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.

由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.

∴，a=0.

∴⊙C的方程为x2+y2=4.

（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4.

∵，

∴，

化简得，x2－y2=2.

∴.

由x2+y2<4，以及x2－y2=2，y2≥0，得2≤x2<3.

∴k1 k2∈(－1，0].

∴k1 k2的取值范围为(－1，0].