Question

7．在△ABC中．
（1）已知A＞B，求证：sinA＞sinB；
（2）求证：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$．

Answer 1

分析 （1）由大角对大边可得a＞b，由正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，即可得证．
（2）由正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{（2RsinA）^{2}+（2RsinB）^{2}}{（2RsinC）^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$．从而得证．

解答 证明：（1）在△ABC中，∵A＞B，
∴a＞b，
∵由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$①，可得：2RsinA＞2RsinB，
∴sinA＞sinB，得证．
（2）由①式可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{（2RsinA）^{2}+（2RsinB）^{2}}{（2RsinC）^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$．得证．

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查．