Question

如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB

于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．

（Ⅰ）求证：PB⊥DE；

（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．

Answer 1

（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，

∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，

又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；                    

（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，

∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），

设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），

P（0，0，a），…（7分）

可得，，

设面PBC的法向量，

∴令y=1，可得x=1，z=

因此是面PBC的一个法向量，

∵，PD与平面PBC所成角为30°，

∴，即，

解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．