Question

设函数f(x)=loga

x-2

x+2

，x∈[m，n]是单调减函数，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：2＜m＜4＜n；
（3）若函数g(x)=1+loga(x-1)-loga

x-2

x+2

，x∈[m，n]的最大值为A，求证：0＜A＜1．

Answer 1

（1）由题意，得loga

m-2

m+2

=1+loga(m-1)，所以

m-2 m+2 ＞0 m-1＞0

解得m＞2.又loga

n-2

n+2

=1+loga(n-1)，所以
m，n是关于x的方程loga

x-2

x+2

=1+loga(x-1)在区间(2，+∞)内的两个
不相等的实根，
即m，n是关于x的方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在区间（2，+∞）内的两个
不相等的实根，
即

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

解得0＜a＜

1

9

．?(6分)
此时，由于函数y=

x-2

x+2

=1-

4

x+2

在区间[m，n](m＞2)上是单调增函数，
且y＞0，结合函数y=log_ax在区间（0，+∞）内是单调减函数，
知函数f(x)=loga

x-2

x+2

，x∈[m，n]是单调减函数，
值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
故实数a的取值范围是区间(0，

1

9

).（8分）
（2）令h（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a）
．由于h（2）=4a+2（a-1）+2（1-a）=4a＞0，
h（4）=16a+4（a-1）+2（1-a）=18a-2＜0，
所以2＜m＜4＜n．（12分）
（3）因为函数g(x)=1+loga(x-1)-loga

x-2

x+2

=1+loga

(x-1)(x+2)

x-2

，所以，当x＞2时，
g′(x)=

1

lna

•

x-2

(x+2)(x-1)

•

(2x+1)(x-2)-(x2+x-2)

(x-2)2

=

1

lna

•

x(x-4)

(x+2)(x-1)(x-2)

，
因为lna＜0，所以当x∈[m，4）时，g'（x）＞0，即g（x）在区间[m，4]上是单调增函数；
当x∈（4，+∞）时，g'（x）＜0，即g（x）在区间[4，n]上是单调减函数；
故A=g(4)=1+loga

(4-1)(4+2)

4-2

=1+loga9.
由0＜a＜

1

9

，得-1＜loga9＜0，
所以0＜A＜1．（16分）