Question

已知B、C是抛物线x²=2py（p＞0）上的两点，O为坐标原点，若|OB|=|OC|，且△BOC的垂心为抛物线的焦点．
（1）求直线BC的方程；
（2）设直线BC与Y轴相交于A点，Q为抛物线上的动点，eQ以Q为圆心且过点A，问是否存在定直线平行于x轴，且被eQ截得的弦长为定值？

Answer 1

分析：（1）由|OB|=|OC|得知，B、C关于y轴对称，再由△BOC的垂心为抛物线的焦点．得OC⊥BF，从而由此求得BC的方程；
（2）由（1）知A点坐标，由线y=b和圆Q截得弦长为定值得到几何关系，由此求出交点弦长，及求出定直线方程．

解答：解：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由|OB|=|OC|得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
又x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，代入上式化简得（y₁-y₂）（y₁+y₂+2p）=0，
而y₁，y₂≥0，∴y₁=y₂．即B、C关于y轴对称．∴点C的坐标为（-x₁，y₁）
kOC=-

y1

x1

，kBF=

y1- p 2

x1

又OC⊥BF，∴-

y1

x1

•

y1- p 2

x1

=-1化简得y1=

5

2

p，
所以BC的方程为y=

5

2

p．
（2）由（1）得A(0，

5

2

p)，设Q（x₀，y₀），假设存在直线y=b和圆Q截得弦长为定值，设两交点为M、N，
则由勾股定理得
(

1

2

MN)2=QA2-(Q到直线y=b的距离)2
=x02+(y0-

5

2

p)2-(y0-b)2      
又∵b=

5

2

p，x₀²=2py₀∴MN=4P，即直线y=

3

2

p．
因此，存在这样的定直线平行于x轴，且被eQ截得的弦长为定值．

点评：此题考抛物线的几何性质，及直线与圆的位置关系的应用，