Question

已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.

(1)求抛物线方程及其焦点坐标;

(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为 (2)见解析

【解析】

解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,

∴4=2p×2,∴p=1.

∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.

(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.

设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).

由

得ky2-2y-4k=0,

设A,B.

则y1+y2=,y1·y2=-4.

∵kEA===.

∴EA方程为y-2=(x-2).

令x=-2,得y=2-=.

∴M.

同理可求得N.

∴·=·

=4+

=4+

=0

∴⊥.

即∠MON=90°,

∴∠MON为定值.