Question

（2007•闸北区一模）已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D（D为函数的定义域）等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
（1）一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合A？请说明理由．
（2）设函数f（x）=log_ax（a＞1）的图象与直线y=

1

2

x有公共点，试证明f（x）=log_ax∈A．

Answer 1

分析：（1）根据f（kx）=

k

2

+f（x）不可能恒成立，可得一次函数f（x）不属于集合A．
（2）要使f（x）∈A，则存在常数k，使方程 log_ak=

1

2

k 有解．而由题意可得方程 log_ak=

1

2

k 有解，从而可得f（x）=log_ax∈A．

解答：解：（1）∵一次函数f（x）=ax+b（a≠0），∴f（kx）=akx+b，而

k

2

+f（x）=ax+b+

k

2

．
显然，akx+b和 ax+b+

k

2

不可能恒成立，故一次函数f（x）=ax+b（a≠0）不属于集合A．
（2）设函数f（x）=log_ax（a＞1）的图象与直线y=

1

2

x有公共点，∴方程 log_ax=

1

2

x 有解 ①．
要使f（x）∈A，则存在常数k，使log_a（kx）=

k

2

+log_ax 成立，即方程 log_ak=

1

2

k 有解．
而由①可得方程 log_ak=

1

2

k 有解，可得f（x）=log_ax∈A．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，方程根的存在性和个数判断，属于中档题．