Question

已知椭圆m：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与双曲线n：

x2

4

-

y2

5

=1有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O：x²+y²=a²+b²相交于点A，C，l₂与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件得a=2，再由双曲线n的离心率为

4+5

2

=

3

2

，知椭圆m的离心率

4-b2

2

=

1

2

，b2=3．由此能求出椭圆m的方程．
（2）圆O的方程为x²+y²=7．若

x2

4

+

y2

3

=1，则1=

x2

4

+

y2

3

≥

x2

4

+

y2

4

，x2+y2≤4＜7，椭圆m落在圆O内．设点P（x₀，y₀）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，则AC=2

7-d12

，BD=2

7-d22

．由此入手能够求出四边形ABCD的面积的最小值．

解答：解：（1）若a＞2，则椭圆m与双曲线n有四个公共点；
若0＜a＜2，则椭圆m与双曲线n没有公共点；
若a=2，则椭圆m与双曲线n有公共点（±2，0）．
由题意，可得a=2．…（3分）
又双曲线n的离心率为

4+5

2

=

3

2

，
则椭圆m的离心率

4-b2

2

=

1

2

，b2=3．
所以椭圆m的方程为m：

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）圆O的方程为x²+y²=7．
若

x2

4

+

y2

3

=1，
则1=

x2

4

+

y2

3

≥

x2

4

+

y2

4

，x2+y2≤4＜7，
即椭圆m落在圆O内．
如图，设点P（x₀，y₀）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，
则AC=2

7-d12

，BD=2

7-d22

，…（7分）
由l₁⊥l₂，得d₁²+d₂²=OP²=x₀²+y₀²．
四边形ABCD的面积S=

1

2

AC×BD=2

49-7(d12+d22)+d12•d22

≥2

49-7(d12+d22)

…（9分）
由点P（x₀，y₀）在椭圆m上，
则

x02

4

+

y02

3

=1，-

3

≤y0≤

3

．
又49-7(d12+d22)=49-7(x02+y02)=21+

7

3

y02≥21，得S≥2

21

．…（11分）
当且仅当d₁d₂=0且y₀=0，
即P的坐标为（-2，0），
直线l₁，l₂的方程为y=0，
x=-2或P的坐标为（2，0），
直线l₁，l₂的方程为y=0，x=2时，S=2

21

．…（13分）
所以四边形ABCD的面积的最小值为2

21

．…（14分）

点评：本题考查和椭圆的关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．