Question

A、B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的两个动点，F是焦点，直线AB不垂直于x轴且交x轴于点D．
（1）若D与F重合，且直线AB的倾斜角为

π

4

，求证：

OA • OB

p2

是常数（O是坐标原点）；
（2）若|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），求抛物线C的方程．

Answer 1

分析：（1）由题知：F(

p

2

，0)，直线AB的斜率为1，直线AB的方程为y=x-

p

2

，联立

y=x- p 2 y2=2px

，得：y²-2py-p²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理能够求出

OA • OB

p2

是常数．
（2）由抛物线的定义，知：|AF|+|BF|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=8，所以x₁+x₂=8-p．由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，知|QA|=|QB|，由此能求出抛物线的方程．

解答：解：（1）由题知：F(

p

2

，0)，直线AB的斜率为1
故直线AB的方程为y=x-

p

2

…（1分）
联立

y=x- p 2 y2=2px

，得：y²-2py-p²=0…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2=2p y1y2=-p2

∴x1x2=

y12

2p

•

y22

2p

=

(y1y2)2

4p2

=

(-p2)2

4p2

=

p2

4

…（4分）
∴

OA • OB

p2

=

x1x2+y1y2

p2

=

p2 4 -p2

p2

=-

3

4

故：

OA • OB

p2

是常数        …（6分）
（2）由抛物线的定义，易知：|AF|+|BF|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=8
∴x₁+x₂=8-p…（7分）
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上∴|QA|=|QB|
即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²…（8分）
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0…（10分）
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4∴抛物线的方程为y²=8x…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．