Question

（2013•韶关二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y2=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）由c²=a²-b²即可得到椭圆的焦点，进而得到p即抛物线的方程，设点M的坐标写出方程，与抛物线的方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由相切得到判别式△=0即可求出；
（2）设A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．即可表示出k_MA，k_MB，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB．进而可证明k_AB为定值．

解答：解：（1）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1．
∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2．∴抛物线C的方程：y²=4x．
∵点M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴

y

2 1

=4x1，直线F₁M的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)．
代入抛物线C得

y

2 1

(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．
∴x1x2-(

x

2 1

+1)x+x1=0         
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=(

x

2 1

+1)2-4

x

2 1

=0，∴x₁=1．
∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．    
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．
则kMA=

y1-2

y 2 1 4 -1

=

4

y1+2

，同理kMB=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0，
化为y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．
∴k_AB=

y2-y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
所以直线AB的斜率为定值-1．

点评：熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与曲线相交相切问题转化为方程联立得到一元二次方程得根与系数的关系及△≥0、△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形可得k_MA=-k_MB等设解题的关键．