Question

【题目】设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

(1)若＝6，求k的值；

(2)求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.①

由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，

得x0＝ (6x2＋x1)＝x2＝；

由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

得x0＝.

所以＝，

化简得24k2－25k＋6＝0，

解得k＝或k＝.

(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

h1＝＝，

h2＝＝.

又|AB|＝＝，

所以四边形AEBF的面积为

S＝|AB|(h1＋h2)

＝··

＝

＝2≤2，

当4k2＝1(k>0)，即当k＝时，上式取等号．

所以S的最大值为2.

即四边形AEBF面积的最大值为2.