Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2，t]（t＞-2）上，那么
①当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；
②设m=f（-2），n=f（t）．试证明：m＜n；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，当x＞1时，试判断方程g（x）=x根的个数．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则即可得出f′（x）．①当t＞1时，分当x∈（-2，0）时；当x∈（0，1）时；当x∈（1，t）时，判断f′（x）的符号即可得出其单调性．②设h（t）=n-m，利用导数研究其单调性、极值即可；
（II）利用导数（通过多次求导）研究其单调性即可．

解答：解：（I）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=x（x-1）e^x．
①当t＞1时，
当x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上可知：当x∈（-2，0），（1，t）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减．
②设h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，h′（t）=t（t-1）e^t（t＞2），列表如下：
由表格可知h（t）的极小值为h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，而h（-2）＞0，
∴当t＞-2时，h（t）＞h（-2），即n＞m．
（II）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x，
问题转化为：判定方程（x-1）²e^x=x当x＞1时，根的个数．
设u（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），则u′（x）=（x²-1）e^x-1，
设v（x）=（x²-1）e^x-1（x＞1），则v′（x）=（x²+2x-1）e^x，
当x＞1时，v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上单调递增，而v（1）=-1＜0，v（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）上存在唯一x₀，使得v（x₀）=0，即存在唯一x₀∈（1，2）使得u′（x₀）=0，
列表如下：
可知：u（x）_min=u（x₀）＜u（1）=-1＜0，由u（2）=e²-2＞0，y=u（x）的图象如图所示，因此y=u（x）在（1，+∞）只有一个零点，即g（x）=x（x＞1）只有一个零点．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值是解题的关键．