Question

15．解关于x的不等式：mx²-（2m+1）x+2＞0（m∈R）．

Answer 1

分析 讨论m=0、m＞0以及m＜0时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可．

解答 解：（1）当m=0时，原不等式可化为-x+2＞0，即x＜2；…（2分）
（2）当m≠0时，分两种情形：
①当m＞0时，原不等式化为（mx-1）（x-2）＞0，即$（x-\frac{1}{m}）（x-2）＞0$；
若$\frac{1}{m}＞2$时，即$0＜m＜\frac{1}{2}$时，不等式的解集为$（-∞，2）∪（\frac{1}{m}，+∞）$；…（4分）
若$\frac{1}{m}＜2$时，即$m＞\frac{1}{2}$时，不等式的解集为$（-∞，\frac{1}{m}）∪（2，+∞）$；…（6分）
若$\frac{1}{m}=2$时，即$m=\frac{1}{2}$时，不等式的解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；…（8分）
②当m＜0时，原不等式化为$（x-\frac{1}{m}）（x-2）＜0$；
显然$\frac{1}{m}＜2$，不等式的解集为$（\frac{1}{m}，2）$；…（10分）
综上所述：当m=0时，解集为（-∞，2）；
当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，解集为$（-∞，2）∪（\frac{1}{m}，+∞）$；
当$m＞\frac{1}{2}$时，解集为$（-∞，\frac{1}{m}）∪（2，+∞）$；
当m＜0时，解集为$（\frac{1}{m}，2）$．…（12分）

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目．