Question

20．己知曲线f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x²+ax-1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，$\frac{7}{2}$）．

Answer 1

分析 求得导数，由题意可得2x²-2x+a=3，即2x²-2x+a-3=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0，韦达定理，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x²+ax-1的导数为f′（x）=2x²-2x+a，
由题意可得2x²-2x+a=3，即2x²-2x+a-3=0有两个不相等的正根，
则△=4-8（a-3）＞0，a-3＞0，
解得3＜a＜$\frac{7}{2}$．
故答案为：（3，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于基础题．