Question

数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3n(n∈N^*).

(1)求{a_n}的通项公式;

(2)数列{a_n}中是否存在三项,它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.

Answer 1

思路分析:存在性探索题可运用反证法的思想,先假设存在,若推出矛盾,即假设存在不成立;若推出符合存在性的条件,则存在性成立.

解:(1)a₁=S₁=2a₁-3,则a₁=3.

由a_n=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n-3a_n+1+3=2(a_n+3),

∴{a_n+3}为等比数列,首项为a₁+3=6,公比为2.

∴a_n+3=6·2^n-1,即a_n=3·2ⁿ-3.

(2)假设数列{a_n}中存在三项a_r,a_s,a_t(r＜s＜t),它们可以构成等差数列,且a_r＜a_s＜a_t.

∴只能是a_r+a_t=2a_s,即3(2^r-1)+3(2^t-1)=6(2^s-1).

∴2^r+2^t=2^s+1.∴1+2^t-r=2^s+1-r.(*)

∵r＜s＜t,r,s,t均为正整数,∴(*)式左边为奇数,右边为偶数,不可能成立.

∴数列{a_n}中不存在可以构成等差数列的三项.

    误区警示 在解答(2)时,易错取三项a_n-1,a_n,a_n+1.事实上,适合条件的三项并不一定是连续的.