Question

5．设函数f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$+2^x+1-1
（1）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并证明；
（2）若对任意t∈R，不等式f（t²-2t）＞f（k-2t²）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在定义域R上为单调递增．运用单调性的定义，结合指数函数的单调性；
（2）由f（x）在R上递增，即为t²-2t＞k-2t²恒成立，运用参数分离和二次函数的最值的求法，即可得到k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）在定义域R上是单调递增．
理由：f（x）=$\frac{1}{2}$（4^x+4•2^x）-1=$\frac{1}{2}$（2^x+2）²-3，
设m＜n，即有f（m）-f（n）=$\frac{1}{2}$（2^m+2）²-3-$\frac{1}{2}$（2ⁿ+2）²+3
=$\frac{1}{2}$（2^m-2ⁿ）（2^m+2ⁿ+4），
由m＜n，可得2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，则f（m）＜f（n），
故f（x）在R上递增；
（2）对任意t∈R，不等式f（t²-2t）＞f（k-2t²）恒成立，
由f（x）在R上递增，即为t²-2t＞k-2t²恒成立，
即有k＜3t²-2t的最小值，
而3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，当t=$\frac{1}{3}$时，取得最小值-$\frac{1}{3}$．
即有k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，注意运用定义法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．