Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，S_n是数列{a_nb_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比q，由等差中项的性质及题设条件求出a₃的值，从而求得a₁、q的值；
（Ⅱ）用a_n求得b_n，写出{a_nb_n}的前n项和S_n，用错位项减法求S_n的值．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即2a₃+4=a₂+a₄；
又a₂+a₃+a₄=28，∴a₃=8，
∴a₂+a₄=

a3

q

+a₃q=

8

q

+8q=20，解得q=

1

2

或q=2；
∴当q=

1

2

时，a₁=32；当q=2时，a₁=2；
又{a_n}是递增的等比数列，∴只取a₁=2，q=2；
∴{a_n}的通项公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）当a_n=2ⁿ时，b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ⁺¹=n+1；
∴{a_nb_n}的前n项和S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ①，
∴2s_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②；
则②-①得：s_n=-2×2-2²-2³-2⁴-…-2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-

2-2n+1

1-2

-2+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与数列求和的错位项减法等知识，也考查了一定的运算能力，是易错题．