Question

求f（x）=x²-2ax-1在区间[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先配方得到函数的对称轴为x=a，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[0，2]的位置关系，合理地进行分类，求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论，从而求得函数的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=（x-a）²-1-a²，对称轴为x=a．
①当a＜0时，由图①可知，
f（x）_min=f（0）=-1，
f（x）_max=f（2）=3-4a．
②当0≤a＜1时，由图②可知，
f（x）_min=f（a）=-1-a²，f（x）_max=f（2）=3-4a．
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f（x）_min=f（a）=-1-a²，
f（x）_max=f（0）=-1．
④当a＞2时，由图④可知，
f（x）_min=f（2）=3-4a，
f（x）_max=f（0）=-1．
综上所述，
当a＜0时，f（x）_min=-1，f（x）_max=3-4a；
当0≤a＜1时，f（x）_min=-1-a²，f（x）_max=3-4a；
当1≤a≤2时，f（x）_min=-1-a²，f（x）_max=-1；
当a＞2时，f（x）_min=3-4a，f（x）_max=-1．

点评：本题主要考查了二次函数的最值，利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论，属于中档题．