Question

17．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，点M在AA₁上．
（1）当直线BD₁与直线CM所成角的余弦值为$\frac{2}{9}$时，求AM的长；
（2）当AM=1时，求二面角C-BD₁-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出AM的长．
（2）求出平面CBD₁的一个法向量和平面MBD₁的一个法向量，利用向量法能求出二面角C-BD₁-M的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
设AM=a（0≤a≤2），则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），D₁（0，0，2），M（1，0，a）．
∴$\overrightarrow{B{D_1}}=（-1，-1，2）$，$\overrightarrow{CM}=（1，-1，a）$．
∴$\overrightarrow{B{D_1}}•\overrightarrow{CM}=1×（-1）+（-1）×（-1）+2×a=2a$，
$|\overrightarrow{B{D_1}}|=\sqrt{{{（-1）}^2}+{{（-1）}^2}+{2^2}}=\sqrt{6}$，
$|\overrightarrow{CM}|=\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}+{a^2}}=\sqrt{2+{a^2}}$．
∵直线BD₁与直线CM所成角的余弦值为$\frac{2}{9}$，
∴$cos＜\overrightarrow{B{D_1}}，\overrightarrow{CM}＞=\frac{{\overrightarrow{B{D_1}}•\overrightarrow{CM}}}{{|\overrightarrow{B{D_1}}||\overrightarrow{CM}|}}=\frac{2a}{{\sqrt{6}•\sqrt{2+{a^2}}}}=\frac{2}{9}$，
解得$a=\frac{2}{5}$．∴$AM=\frac{2}{5}$．   …（8分）
（2）设平面CBD₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
平面MBD₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$．
由$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{B{D_1}}$，$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CB}$=（1，0，0），
得$\left\{\begin{array}{l}{{-x}_{1}-{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，得$\overrightarrow{n_1}=（0，2，1）$．
由$\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{B{D_1}}$，$\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{BM}$=（0，-1，1），
得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}-{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\\{-{y}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，令y₂=1，得$\overrightarrow{n_2}=（1，1，1）$．
$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}=（1，1，1）•（0，2，1）=3$，
$|\overrightarrow{n_1}|=\sqrt{{0^2}+{2^2}+{1^2}}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{n_2}|=\sqrt{{1^2}+{1^2}+{1^2}}=\sqrt{3}$，
$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{3}{{\sqrt{15}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
所以二面角C-BD₁-M的余弦值为$-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（16分）

点评 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．