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(2012•辽宁)如图,动圆C1x2+y2=
t
2
 
,1<t<3与椭圆C2
x2
9
+y2=1
相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.
(Ⅰ)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;
(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
分析:(Ⅰ)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|,由
x02
9
+y02=1
y02=1-
x02
9
,从而x02y02=x02( 1-
x02
9
)
,由此可求矩形ABCD的面积的最大值;
(Ⅱ)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),确定直线AA1的方程,直线A2B方程,利用y02=1-
x02
9
,即可求得直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
解答:解:(Ⅰ)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|
x02
9
+y02=1
y02=1-
x02
9
,从而x02y02=x02( 1-
x02
9
)
=-
1
9
(x02-
9
2
)2+
9
4

x02=
9
2
y02=
1
2
时,Smax=6
∴t=
5
时,矩形ABCD的面积取得最大值,最大面积为6;
(Ⅱ)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),知直线AA1的方程为y=
y0
x0+3
(x+3)

直线A2B方程为y=
-y0
x0-3
(x-3)

由①②可得:y2=
-y02
x02-9
(x2-9)

y02=1-
x02
9

∴④代入③可得
x2
9
-y2=1
(x<-3,y<0)
∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程
x2
9
-y2=1
(x<-3,y<0).
点评:本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函数方程思想、转化思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•辽宁)如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',点M,N分别为A'B和B'C'的中点.
(I)证明:MN∥平面A'ACC';
(II)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•辽宁)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=
2
,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)求三棱锥A′-MNC的体积.
(椎体体积公式V=
1
3
Sh,其中S为地面面积,h为高)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•辽宁)如图,已知椭圆C0
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,a,b为常数)
,动圆C1x2+y2=
t
2
1
,b<t1<a
.点A1,A2分别为C0的左右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D四点.
(I)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;
(II)设动圆C2x2+y2=
t
2
2
与C0相交于A',B',C',D'四点,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,证明:
t
2
1
+
t
2
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

 [2012·辽宁卷] 如图1-5,直三棱柱ABCABC′,∠BAC=90°,ABACAA′=1,点MN分别为ABBC′的中点.

(1)证明:MN∥平面AACC′;

(2)求三棱锥A′-MNC的体积.

(锥体体积公式VSh,其中S为底面面积,h为高)

图1-5

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