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    （2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0，a，b为常数)    ，动圆C1：x2+y2=
    t
    2
    1
    ，b＜t1＜a    ．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
    （I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
    （II）设动圆C2：x2+y2=
    t
    2
    2
    与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：
    t
    2
    1
    +
    t
    2
    2
    为定值．
    分析：（I）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；
    （II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得
    t
    2
    1
    +
    t
    2
    2
    =a2+b2为定值．
    解答：（I）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
    ∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=
    y1
    x1+a
    (x+a)    ①
    直线A2B的方程为y=
    -y1
    x2-a
    (x-a)    ②
    由①×②可得：y2=
    -y12
    x12-a2
    (x2-a2)    ③
    ∵A（x1，y1）在椭圆C0上，
    ∴
    x12
    a2
    +
    y12
    b2
    =1
    ∴y12=b2(1-
    x12
    a2
    )
    代入③可得：y2=
    -b2(1-
    x12
    a2
    )
    x12-a2
    (x2-a2)
    ∴
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(x＜-a，y＜0)    ；
    （II）证明：设A′（x3，y3），
    ∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
    ∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
    ∴x12y12=x32y32
    ∵A，A′均在椭圆上，
    ∴b2x12(1-
    x12
    a2
    )    =b2x32(1-
    x32
    a2
    )
    ∴x12-
    x14
    a2
    =x32-
    x34
    a2

    ∴a2(x12- x32)= x14-x34
    ∵t1≠t2，∴x1≠x3．
    ∴x12+x32=a2
    ∵y12=b2(1-
    x12
    a2
    )    ，y32=b2(1-
    x32
    a2
    )
    ∴y12+y32=b2
    ∴
    t
    2
    1
    +
    t
    2
    2
    =a2+b2为定值．
    点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．
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    （2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
    （I）证明：MN∥平面A'ACC'；
    （II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
    		2
    ，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
    （Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
    （Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．
    （椎体体积公式V=
    1
    3
    Sh，其中S为地面面积，h为高）

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    （2012•辽宁）如图，动圆C1：x2+y2=
    t
    2
     
    ，1＜t＜3与椭圆C2：
    x2
    9
    +y2=1    相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
    （Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
    （Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

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     [2012·辽宁卷] 如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

    (1)证明：MN∥平面A′ACC′；

    (2)求三棱锥A′－MNC的体积．

    (锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

    图1－5

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