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    已知曲线D：
    x=2
    		2
    cosθ
    y=2
    		2
    sinθ
    与曲线C交于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为
    		2
    2
    的椭圆其交点在x轴上．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）设M是直线x=-4上上的任一点，以OM为直径的圆交曲线D于P，Q两点（O为坐标原点）．若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，交x轴于点E，且
    1
    2
    |PQ|=
    		(2
    		2
    )    2    -(
    		2
    )    2
    =
    		6
    ．试求此时弦PQ的长．
    分析：（1）圆方程由参数方程可化为x2+y2=8，交x轴于A(-2
    		2
    ，0)    ，B(2
    		2
    ，0)    ，由此能求出椭圆方程．
    （2）设直线x=-4上任一点M（-4，t），则以OM为直径的圆方程为x2+y2+4x-ty=0．又⊙O方程为x2+y2=8，所以直线PQ方程为4x-ty=-8．由此入手能够求出弦PQ的长．
    解答：解：（1）圆方程由参数方程可化为x2+y2=8，
    交x轴于A(-2
    		2
    ，0)    ，B(2
    		2
    ，0)    ．
    依题意，设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，
    则a=2
    		2
    ，e=
    c
    a
    =
    c
    2
    		2
    =
    		2
    2
    ，
    得c=2∴b2=a2-c2=8-4=4
    ∴椭圆方程为
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．
    （2）设直线x=-4上任一点M（-4，t），则以OM为直径的圆方程为x（x+4）+y（y-t）=0，即x2+y2+4x-ty=0．
    又⊙O方程为x2+y2=8，∴直线PQ方程为4x-ty=-8，
    令y=0，得x=-2，∴点E的坐标为（-2，0）．
    由
    4x-ty=-8
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    得（t2+32）y2-16ty-64=0
    设G（x1，y1），H（x2，y2），
    则y1+y2=
    16t
    t2+32
    ①
    y1•y2=-
    64
    t2+32
    ②
    又
    EG
    =(x1+2，y1)，
    HE
    =(-2-x2，-y2)，
    EG
    =3
    HE

    ∴y1=-3y2③
    由①②③解得 t=±4
    ∴PQ方程：x+y=-2或x-y=-2
    ∴圆心O到x+y=-2或x-y=-2的距离d=
    |2|
    		2
    =
    		2

    ∴
    1
    2
    |PQ|=
    		(2
    		2
    )    2    -(
    		2
    )    2
    =
    		6

    ∴|PQ|=2
    		6
    即弦PQ的长为2
    		6
    ．
    点评：本题考查椭圆的方程的求法和求弦长的方法，解题时要认真审题，注意参数方程的转化，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网选做题本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中 两题 作答，每小题10分，共计20分，
    解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
    A选修4-1：几何证明选讲
    自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
    B选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵A=
    ab
    cd
    ，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=
    1
    -1
    ，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=
    3
    2
    ．求矩阵A．
    C选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
    x=2cosα
    y=sinα
    (α为参数)    ．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．点
    P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
    D选修4-5：不等式选讲
    若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
    1
    3a+2
    +
    1
    3b+2
    +
    1
    3c+2
    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•葫芦岛模拟）选修4-4：坐标系与参数方程．
    在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
    x=acos?
    y=bsin?
    （a＞b＞0，?为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，
    		3
    ）对应的参数φ=
    π
    3
    ；θ=
    π
    4
    ；与曲线C2交于点D（
    		2
    ，
    π
    4
    ）
    （1）求曲线C1，C2的方程；
    （2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
    π
    2
    ）是曲线C1上的两点，求
    1
    ρ
    2
    1
    +
    1
    ρ
    2
    2
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•包头一模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 
    x=acosφ
    y=bsinφ
    （a＞b＞0，?为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M（1，
    		3
    2
    ）对应的参数φ=
    π
    3
    ，曲线C2过点D（1，
    π
    3
    ）．
    （Ⅰ）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
    （Ⅱ）若点A（ρ 1，θ），B（ρ 2，θ+
    π
    2
    ） 在曲线C1上，求
    1
    ρ
    2
    1
    +
    1
    ρ
    2
    2
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
    A．（选修4-1：几何证明选讲）
    过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
    B．（选修4-2：矩阵与变换）
    求曲线C：xy=1在矩阵
    		2
    2
    		-
    		2
    2
    		2
    2
    		2
    2
    对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
    C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
    已知曲线C1：
    x=3cosθ
    y=2sinθ
    （θ为参数）和曲线C2：ρsin（θ-
    π
    4
    ）=
    		2
    ．
    （1）将两曲线方程分别化成普通方程；
    （2）求两曲线的交点坐标．
    D．（选修4-5：不等式选讲）
    已知|x-a|＜
    c
    4
    ，|y-b|＜
    c
    6
    ，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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