Question

选做题本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中 两题 作答，每小题10分，共计20分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A选修4-1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
B选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=

ab cd

，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α1=

1 -1

，属于特征值λ₂=4的一个特征向量为α2=

3 2

．求矩阵A．
C选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．点
P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
D选修4-5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

Answer 1

分析：A：根据MA为圆O的切线，由切割线定理得MA²=MB•MC．从而MP²=MB•MC．依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．
B：由特征值、特征向量定义可知，Aα₁=λ₁α₁，得关于a，b的方程，解得a，b，c，d即可得矩阵．
C：先将原极坐标方程化简为ρcosθ+ρsinθ=4，再化成直线l的直角坐标方程，设点P的坐标为（2cosα，sinα），利用点到直线l的距离结合三角函数的有界性即可；
D：利用柯西不等式结合正数a，b，c满足a+b+c=1，得出

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1，从而得出原式取最小值．

解答：解：A
因为MA为圆O的切线，所以MA²=MB•MC．
又M为PA的中点，所以MP²=MB•MC．
因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC．（5分）
于是∠MPB=∠MCP．
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，得∠MPB=20°．（10分）
B：
由特征值、特征向量定义可知，Aα₁=λ₁α₁，
即

ab cd

1 -1

=-1×

1 -1

，得

a-b=-1 c-d=1.

（5分）
同理可得

3a+2b=12 3c+2d=8

解得a=2，b=3，c=2，d=1．因此矩阵A=

23 21

．（10分）
C：
ρcos(θ-

π

4

)=2

2

化简为ρcosθ+ρsinθ=4，
则直线l的直角坐标方程为x+y=4．（4分）
设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离d=

|2cosα+sinα-4|

2

，
即d=

| 5 sin(α+φ)-4|

2

，其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

．（8分）
当sin（α+φ）=-1时，dmax=2

2

+

10

2

．（10分）
D：
因为正数a，b，c满足a+b+c=1，
所以，(

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

)[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2，（5分）
即

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1，
当且仅当3a+2=3b+2=3c+2，即a=b=c=

1

3

时，原式取最小值1．（10分）

点评：本小题主要考查特征值与特征向量的计算、相似三角形的判定、简单曲线的极坐标方程、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．