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选做题本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中 两题 作答,每小题10分,共计20分,
解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A选修4-1:几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
B选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵A=,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为,属于特征值λ2=4的一个特征向量为.求矩阵A.
C选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.点
P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
D选修4-5:不等式选讲
若正数a,b,c满足a+b+c=1,求的最小值.

【答案】分析:A:根据MA为圆O的切线,由切割线定理得MA2=MB•MC.从而MP2=MB•MC.依据相似三角形的判定方法得:△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP.最后在△MCP中,即得∠MPB.
B:由特征值、特征向量定义可知,Aα11α1,得关于a,b的方程,解得a,b,c,d即可得矩阵.
C:先将原极坐标方程化简为ρcosθ+ρsinθ=4,再化成直线l的直角坐标方程,设点P的坐标为(2cosα,sinα),利用点到直线l的距离结合三角函数的有界性即可;
D:利用柯西不等式结合正数a,b,c满足a+b+c=1,得出,从而得出原式取最小值.
解答:解:A
因为MA为圆O的切线,所以MA2=MB•MC.
又M为PA的中点,所以MP2=MB•MC.
因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC.(5分)
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,得∠MPB=20°.(10分)
B:
由特征值、特征向量定义可知,Aα11α1
,得(5分)
同理可得解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵A=.(10分)
C:
化简为ρcosθ+ρsinθ=4,
则直线l的直角坐标方程为x+y=4.(4分)
设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离
,其中.(8分)
当sin(α+φ)=-1时,.(10分)
D:
因为正数a,b,c满足a+b+c=1,
所以,,(5分)

当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即时,原式取最小值1.(10分)
点评:本小题主要考查特征值与特征向量的计算、相似三角形的判定、简单曲线的极坐标方程、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网选做题本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中 两题 作答,每小题10分,共计20分,
解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A选修4-1:几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
B选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵A=
ab
cd
,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=
1
-1
,属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=
3
2
.求矩阵A.
C选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数)
.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
.点
P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
D选修4-5:不等式选讲
若正数a,b,c满足a+b+c=1,求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•宿迁一模)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,已知AB,CD是圆O的两条弦,且AB是线段CD的 垂直平分线,若AB=6,CD=2
5
,求线段AC的长度.
B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵M=
21
1a
的一个特征值是3,求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是
x=cosα
y=sinα+1
(α是参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程.
D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R,求正实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

[选做题]本题包括A、B、C、D共4小题,请从这4小题中选做2小题,每小题10分,共20分.
A.如图,AD是∠BAD的角平分线,⊙O过点A且与BC边相切于点D,与AB,AC分别交于E、F两点.求证:EF∥BC.
B.已知M=
.
1-2
3-7
.
,求M-1
C.已知直线l的极坐标方程为θ=
π
4
(ρ∈R),它与曲线C
x=1+2cosα
y=2+2sinα
(α为参数)相较于A、B两点,求AB的长.
D.设函数f(x)=|x-2|+|x+2|,若不等式|a+b|-|4a-b|≤|a|,f(x)对任意a,b∈R,且a≠0恒成立,求实数x的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2010年高考试题(江苏版)解析版 题型:解答题

 [选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A. 选修4-1:几何证明选讲

 

AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。

B. 选修4-2:矩阵与变换

 

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。

C. 选修4-4:坐标系与参数方程

 

在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值。

 

D. 选修4-5:不等式选讲

 

设a、b是非负实数,求证:

 

[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

 

 

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