Question

[选做题]本题包括A、B、C、D共4小题，请从这4小题中选做2小题，每小题10分，共20分．
A．如图，AD是∠BAD的角平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E、F两点．求证：EF∥BC．
B．已知M=

.

1 -2 3 -7

.

，求M^-1．
C．已知直线l的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R），它与曲线C

x=1+2cosα y=2+2sinα

（α为参数）相较于A、B两点，求AB的长．
D．设函数f（x）=|x-2|+|x+2|，若不等式|a+b|-|4a-b|≤|a|，f（x）对任意a，b∈R，且a≠0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：A．证明EF∥BC，只要证明内错角相等，即∠DEF=∠EDB即可；
B．设出M的逆矩阵，利用MM^-1=E，建立等式，由此可求矩阵的逆矩阵；
C．直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线C

x=1+2cosα y=2+2sinα

（α为参数）化为普通方程，求出圆心到直线y=x的距离，即可求出弦长；
D．利用绝对值不等式的性质，再将|a+b|-|4a-b|≤|a|f（x）对任意a，b∈R，且a≠0恒成立，转化为f（x）≥5，即可确定
x的取值范围．

解答：A．证明：连接DE，可得∠DEF=∠DAC
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠EDB
∴∠DEF=∠EDB
∴EF∥BC
B．设M^-1=

a b c d

，依题意，有

a b c d

1 -2 3 -7

=

1 0 0 1

∴

a+3b -2a-7b c+3d -2c-7d

=

1 0 0 1

∴

a+3b=1 -2a-7b=0 c+3d=0 -2c-7d=1

∴

a=7 b=-2 c=3 d=-1

∴M-1=

7 -2 3 -1

C．直线l的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R）的直角坐标方程为y=x，曲线C

x=1+2cosα y=2+2sinα

（α为参数）的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=4，所以圆心（1，2）到直线y=x的距离d=

|1-2|

2

=

2

2

∴AB=2

4- 1 2

=

14

D．∵a≠0，∴a＞0
∴|a+b|-|4a-b|≤|（a+b）+（4a-b）|=5|a|=5a，
∵|a+b|-|4a-b|≤|a|f（x）对任意a，b∈R，且a≠0恒成立，
∴5a≤af（x）
∴f（x）≥5
∴x≤-2.5或x≥2.5
∴x的取值范围是x≤-2.5或x≥2.5．

点评：本题是选作题，考查几何证明选讲，考查逆矩阵，考查坐标系与参数方程，考查绝对值不等式，综合性强．