Question

（本小题满分14分）
如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.

Answer 1

（1）椭圆C方程为.（2）同解析

解析
解法一：
（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a²-c²=3,
所以椭圆C方程为.
(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),="1." ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x₀,y₀),则有 n(x₀-1)-(m-1)y₀="0," ……②
n(x₀-4)+(m-4)y₀="0," ……③
由②，③得
x₀=.
所以点M恒在椭圆G上.

(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.
设A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=
|y₁-y₂|=
令3t²+4=λ(λ≥4),则
|y₁-y₂|＝
因为λ≥4，0<
|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F.
△AMN的面积S_△AMN=
解法二：
（Ⅰ）问解法一：
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),              ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y="0,                 " ……②
n(x-4)-(m-4)y="0,                 " ……③
由②，③得：当≠.         ……④
由④代入①，得=1（y≠0）.
当x=时，由②，③得：
解得与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.
（Ⅱ）同解法一.